Interpolacion de LaGrange

July 11, 2019 | Author: Fernando Soliz Dtc | Category: Algoritmos, Funciones y asignaciones, Análisis numérico, Conceptos matemáticos, Álgebra abstracta
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holaaaaaaa...

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UNIVERSIDAD CATOLICA DE CUENCA

NOMBRE FERNANDO SOLIZ

MATERIA METODOS NUMERICOS

PROFESOR ING. FERNANDO ORELLANA

TEMA INTERPOLACION DE LAGRANGE

AÑO LECTIVO 2013-2014

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INDICE

Polinomio de interpolación de LaGrange Definición Demostración Concepto Interpolación y Polinomio de Interpolación de LaGrange N-ésimo polinomio interpolante de LaGrange Aproximación a 1/x con interpolantes de LaGrange El error en la interpolación de LaGrange Desventajas de su uso Otras aplicaciones Aplicación de la interpolación de LaGrange

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Polinomio de interpolación de LaGrange En análisis numérico, el polinomio de LaGrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de LaGrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de LaGrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783. Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de LaGrange. Un nombre más conciso es interpolación interpolación polinómica en la forma de LaGrange. Existen en todas las ramas de la ciencia, en la Física, en la Matemática, en la Química, en la Astronomía, en Biología, etc. Situaciones en las que conociendo un conjunto de datos experimentales en un cierto intervalo de la variable independiente, esto es, conociendo una cierta cantidad de datos tabulados, se hace preciso encontrar una función que verifique todos esos datos y permita, por consiguiente, predecir la existencia de otros valores con la aproximación adecuada. El problema de la interpolación es de gran importancia en el análisis numérico. En este artículo vemos muy brevemente una manera elemental de interpolación y la obtención de la conocida Fórmula Interpoladora de LaGrange.

Definición: Dado un conjunto de k  +  + 1 puntos

Donde todos los x  j  se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de LaGrange es la combinación la combinación lineal

de bases polinómica de LaGrange

Demostración: La función que estamos buscando es una función polinómica L(x) de grado k con el problema de interpolación puede tener tan solo una solución, pues la diferencia entre dos tales soluciones, sería otro polinomio de grado k a lo sumo, con k+1 ceros.

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Concepto: La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándar para nuestro polinomio interpolador, llegamos llegamos a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de LaGrange, llegamos a la forma más simple de matriz identidad = δi,j, que puede resolvers e inmediatamente.

Interpolación Interpolación y Polinomio Polinomio de Interpolación Interpolación de LaGrange

Se trata de encontrar un polinomio de grado n que pase por los puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... (xn, f(xn)), se construye un cociente Ln,k(xk) con la propiedad de que Ln,k(xi) = 0 cuando i ¹ k y Ln,k(xk) = 1 Se requiere entonces que el numerador contenga (x – x0) (x – x1)... (x – xk –1)(x – xk+1)... (x – xn) El denominador debe coincidir con el numerador cuando x = xk.

N-ésimo polinomio interpolante de LaGrange: Teorema Si x0, x1, x2, ... xn, son n+1 números distintos y si f es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces existe un polinomio de grado a lo más n, con la propiedad de que f(xk) = P(xk) para cada k = 0, 1, 2, ...n

Este polinomio está dado por: Donde

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 Aproximación  Aproximación a 1/x con interpolantes interpolantes de LaGrange LaGrange Usaremos x0 = 2, x1 = 2.5 y x 2 = 4, para obtener un polinomio de grado 2 para 1/x. f(x 0) = 0.5, f(x 1)= 0.4 y f(x2) = 0.25. Los polinomios de LaGrange L aGrange son:

P( x ) = 0.5*(( x  –6.5) x +10)+0.4*(( +10)+0.4*(( –4 x+24) x  –32)/3+ 0.25*(( x  +  + 4.5) x +5)/3 +5)/3 2

P( x ) = (0.05 x  –  – 0.425) x  +  + 1.15 = 0.05 x   – 0.425 x  +  + 1.15

(3) = P(3) = 0.325  f (3)  + 1.15 P( x ) = (0.05 x  –  – 0.425) x  +  f (3) (3) = P(3) = 0.325

El error en la interpolación interpolación de LaGrange El error en la interpolación de LaGrange puede calcularse con:

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Desventajas de su uso: Si se aumenta en número de puntos a interpolar (o nodos) con la intención de mejorar la aproximación a una función, también lo hace el grado del polinomio interpolador así obtenido, por norma general. De este modo, aumenta la dificultad en el cálculo, haciéndolo poco operativo manualmente a partir del grado 4, dado que no existen métodos directos de resolución de ecuaciones de ecuaciones de grado 4, salvo 4, salvo que se puedan tratar como ecuaciones bicuadradas, bicuadradas, situación extremadamente rara. La tecnología actual permite manejar polinomios de grados superiores sin grandes problemas, a costa de un elevado consumo de tiempo de computación. Pero, a medida que crece el grado, mayores son las oscilaciones entre puntos consecutivos o nodos. Se podría decir que a partir del grado 6 las oscilaciones son tal que el método deja de ser válido, aunque no para to dos los casos. Sin embargo, pocos estudios requieren la interpolación interpolación de tan sólo 6 puntos. Se suelen contar por decenas e incluso centenas. En estos casos, el grado de este polinomio sería tan alto que resultaría inoperable. Por lo tanto, en estos casos, se recurre a otra técnica de interpolación, como por ejemplo a la Interpolación la Interpolación polinómica de Hermite o a lossplines lossplines cúbicos Otra gran desventaja, respecto a otros métodos de interpolación, es la necesidad de recalcular todo el polinomio si se varía el número de nodos.

Otras aplicaciones: aplicaciones: Aunque el polinomio interpolador de LaGrange se emplea mayormente para interpolar funciones e implementar esto fácilmente en una computadora, también tiene otras aplicaciones en el campo del álgebra exacta, lo que ha hecho más célebre a este polinomio, por ejemplo en el campo de los proyectores ortogonales: Sea un espacio un espacio vectorial complejo de dimensión finita E en el que definimos un producto un producto escalar (no necesariamente necesariamente el usual). Sea F un operador un operador normal, tal normal, tal que gracias al teorema es igual

a

. Don Donde

son son los proy proye ector tores orto ortog gonal onales es y

cada proyector. Entonces:

Siendo I la matriz identidad.

el auto auto vect vector ore es de F asoc asocia iad dos a

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 Aplicación de la interpolación interpolación de LaGrange EJEMPLO:

La función tangente y su interpolador. Se desea interpolar

en los puntos

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Así, el polinomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los

y los valores de las abscisas: las abscisas:

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